Analyse et approximation par éléments finis d'équations aux dérivées partielles 2020/2021
Cours scientifique ENSTA - ANN202
Martin Vohralík


Descriptif

Ce cours fait suite au premier cours sur les éléments finis, ANN201. Il a pour objectif de présenter quelques principes importants avancés de l'approximation numérique des équations aux dérivées partielles par la méthode des éléments finis.

Dans une première partie, on étudiera la méthode des éléments finis dite « non conforme », dont les approximations numériques se trouvent en dehors de l'espace fonctionnel de la formulation faible du problème. On introduira le concept important d'une « reconstruction conforme » et présentera l'analyse a priori et a posteriori pour l'équation de Poisson.

Une deuxième partie sera consacrée à l'approximation numérique de l'équation de Poisson par les éléments finis dites « hp » où on considère à la fois la diminution de la taille maximale de maillage h et l'augmentation du degré polynomial p.

Dans une troisième partie, deux exemples en dehors de problèmes stationnaires linéaires seront considérés : l'équation elliptique non linéaire avec un opérateur de diffusion fortement monotone et continu Lipschitz et l'équation instationnaire parabolique de la chaleur. Analyse a priori pour les éléments finis sera menée.

La mise en œuvre informatique fera le contenu de deux séances de travaux pratiques sur ordinateur.

Objectifs
Être capable : Format
7 blocs de 3h, vendredi matin
cours magistraux (CM), travaux dirigés en petites classes (TD), travaux pratiques (projets) sur ordinateur (TP)

29/01 05/02 12/02 19/02 05/03 11/03    19/03
09h00–10h30 CM CM CM CM CM 13h30–15h00   CM    09h00–11h00   Examen
10h45–12h15 TD1 TD2 TP1 TP1 TP2 15h15–16h45   TP2    11h15–12h15   Cours d'overture

Notation
examen écrit (60%), contrôle continu (40%)
Programme détaillé
  1. La méthode des éléments finis « non conforme »
  2. Reconstruction « conforme »
  3. Estimations d'erreur a posteriori
  4. Approximation « \(hp\) »
  5. L'équation elliptique non linéaire, théorème de point fixe de Banach
  6. La méthode des éléments finis pour l'équation instationnaire parabolique de la chaleur

Polycopié du cours

version finale PDF icon

Notes des séances du cours

29 janvier 2021 PDF icon
5 février 2021 PDF icon
12 février 2021 PDF icon
19 février 2021 PDF icon
19 mars 2021 PDF icon

Travaux dirigés

TD1 avec corrigé PDF icon
TD2 avec corrigé PDF icon

Travaux pratiques sur ordinateur

travail en groupe autorisé, rapport et code individuel ou par binôme

TP1 PDF icon   code et rapport à rendre par e-mail pour le 12/03/2021
TP2 PDF icon   code et rapport à rendre par e-mail pour le 02/04/2021