Analyse et approximation par éléments finis d'équations aux dérivées partielles 2023/2024
Cours scientifique ENSTA - ANN202
Martin Vohralík


Descriptif

Ce cours fait suite au premier cours sur les éléments finis, ANN201. Il a pour objectif de présenter quelques principes importants avancés de l'approximation numérique des équations aux dérivées partielles par la méthode des éléments finis.

Dans une première partie, on présentera l'analyse a priori « classique » de la méthode des éléments finis dite « non conforme » pour l'équation de Poisson. Ici, les approximations numériques se trouvent en dehors de l'espace fonctionnel de la formulation mathématique (faible) du problème. L'analyse est « classique » car le degré de polynôme p est uniforme (le même partout dans le domaine du calcul) est fixé (n'évolue pas si on veut accroître la précision) et le raffinement de maillage est uniforme (le pas de maillage h est approximativement le même partout dans le domaine du calcul). Ceci permet une décroissance optimale d'erreur en fonction de h entre la solution numérique approchée et la solution de l'équation aux dérivées partielles si la solution d'EDP est suffisamment régulière et quand le degré de polynôme n'est pas trop élevé.

Une deuxième partie sera consacrée à l'analyse a posteriori et adaptivité de maillage. L'analyse a posteriori permet un premier miracle : on peut estimer l'erreur entre la solution numérique (connue) et la solution de l'EDP (inconnue) par un estimateur entièrement calculable. Pour y parvenir dans le contexte des éléments finis non conformes, on introduira le concept important d'une « reconstruction conforme », ainsi que d'un « flux équlibré ». L'adaptivité de maillage consiste en consacrer d'avantage d'effort dans les parties « problématiques » du domaine du calcul. Ceci permet un deuxième miracle : l'erreur entre la solution numérique approchée et la solution inconnue d'EDP va décroitre de façon optimale en fonction du nombre des degrés de liberté même si la solution n'est pas suffisamment régulière et pour tout degré (fixe) de polynôme.

Une troisième partie sera consacrée à l'approximation numérique de l'équation de Poisson par les éléments finis conformes dites « hp », où on considère à la fois la diminution de la taille maximale de maillage h et l'augmentation du degré polynomial p (p n'est plus fixé). Si d'abord h et p sont uniformes, l'analyse permet obtenir une borne d'erreur optimale à la fois en fonction de h et de p. Puis, avec une variation locale du pas de maillage et du degré de polynôme, on obtient un troisième miracle : l'erreur va décroitre de façon exponentielle en fonction du nombre des degrés de liberté.

Dans une quatrième et dernière partie, deux exemples en dehors de problèmes stationnaires linéaires seront considérés : l'équation elliptique non linéaire avec un opérateur de diffusion fortement monotone et continu Lipschitz et l'équation de la chaleur (instationnaire parabolique linéaire). Analyse a priori « classique » pour les éléments finis confomes sera menée.

La mise en œuvre informatique fera le contenu d'un projet informatique sur ordinateur.

Objectifs
Etre capable : Format
7 blocs de 3h, vendredi matin
cours magistraux (CM), travaux dirigés en petites classes (TD), projet informatique sur ordinateur (TP)

26/01 02/02 09/02 16/02 01/03 08/03    22/03
salle 1312 1225 1225 1225 1225 1225    1315
09h00–10h30 CM CM CM CM CM CM    09h00–11h00   Examen
10h45–12h15 TD1 TD1 TP TP TP TP    11h15–12h15   Cours d'overture

Notation
examen écrit (60%), contrôle continu (40%)
Programme détaillé
  1. L'analyse a priori classique de la méthode des éléments finis « non conforme »
  2. Reconstruction du potentiel en \(H^1_0(\Omega)\)
  3. Reconstruction du flux en \(\boldsymbol{H}(\mathrm{div}, \, \Omega)\)
  4. Estimations d'erreur a posteriori
  5. Adaptivité de maillage
  6. Approximation « \(hp\) »
  7. L'équation elliptique non linéaire, théorème de point fixe de Banach
  8. La méthode des éléments finis pour l'équation instationnaire parabolique de la chaleur

Polycopié du cours

version du 16/02/2024 PDF icon , mises à jour à venir
présentation en ligne du 16/02/2024 PDF icon

Travaux dirigés

TD1 avec corrigé PDF icon


Projet informatique sur ordinateur

projet PDF icon
script de base PDF icon
travail en groupe autorisé, code individuel ou par binôme, rapport individuel


Examen

2 heures, aucun document, appareil électronique ou aide extérieure (donner tout détail et justifier rigoureusement)


exemple d'examen de 2021 PDF icon