Thèse

présentée pour obtenir le grade de Docteur en sciences de l'Université de Paris-Sud, spécialité mathématiques
&
Docteur de l'Université Technique Tchèque à Prague, spécialité modélisation mathématique par

Martin Vohralík

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Titre
METHODES NUMERIQUES POUR DES EQUATIONS ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES NON LINEAIRES
Application à des problèmes d'écoulement en milieux poreux et fracturés

Chapitres

1. Schémas combinant les méthodes de volumes finis et d'éléments finis pour des problèmes de convection–réaction–diffusion paraboliques dégénérés
2. Inégalités de Poincaré–Friedrichs discrètes
3. Equivalence entre les méthodes des éléments finis mixtes de plus bas degré et des volumes finis à plusieurs points
4. Les méthodes des éléments finis mixtes et non conformes sur un réseau de fractures

Texte intégral
version française, version anglaise

Présentation

Directeurs
Danielle HILHORST (CNRS & Université de Paris-Sud)   et   Jiří MARYŠKA (Université Technique à Liberec, République Tchèque)

Soutenue
le jeudi 9 décembre 2004 à 16h en salle 113–115 du bâtiment 425, Université de Paris-Sud, Orsay

Jury

• M. Robert EYMARD, Professeur, Université de Marne-la-Vallée
• M. Miloslav FEISTAUER, Professeur, Université de Charles à Prague, République Tchèque
• Mme Vivette GIRAULT, Professeur, Université Paris VI
• M. Bernard HELFFER, Professeur, Université de Paris-Sud
• Mme Danielle HILHORST, Directrice de recherche, CNRS & Université de Paris-Sud
• M. Jiří MARYŠKA, Professeur, Université Technique à Liberec, République Tchèque

Rapporteurs

• M. Miloslav FEISTAUER, Professeur, Université de Charles à Prague, République Tchèque
• M. Jérôme JAFFRÉ, Directeur de rechreche, INRIA Rocquencourt

Mention
très honorable

Mots clés

• méthodes volumes finis
• méthodes éléments finis
• méthodes éléments finis mixtes
• maillages non structurés
• inégalités de Poincaré–Friedrichs discrètes
• existence et unicité
• convergence
• simulations numériques
• équation de convection–réaction–diffusion parabolique dégénérée
• écoulement et transport de contaminants en milieux poreux et fracturés

AMS subject classifications
65M12, 65N30, 76M10, 76M12, 76S05, 35J20, 35K65, 46E35

Résumé

Les travaux de cette thèse portent sur des méthodes numériques pour la discrétisation d'équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques de convection–réaction–diffusion non linéaires. Nous analysons ces méthodes et nous les appliquons à la simulation effective de l'écoulement et du transport de contaminants en milieux poreux et fracturés.

Au chapitre 1, nous proposons un schéma permettant une discrétisation efficace, robuste, conservative et stable des équations de convection–réaction–diffusion non linéaires paraboliques dégénérées sur des maillages non structurés en dimensions deux ou trois d'espace. Nous discrétisons le terme de diffusion, qui contient en général un tenseur de diffusion inhomogène et anisotrope, par la méthode des éléments finis non conformes ou mixtes-hybrides et les autres termes par la méthode des volumes finis. La partie essentielle du chapitre est ensuite consacrée à montrer l'existence et l'unicité d'une solution discrète et sa convergence vers une solution faible du problème continu. La méthode de démonstration permet en particulier d'éviter des hypothèses restrictives sur le maillage souvent présentes dans la littérature. Nous proposons finalement une variante de ce schéma pour des maillages qui ne se raccordent pas, couplant cette fois la méthode des volumes finis avec celle des éléments finis conformes, et nous l'appliquons à la simulation du transport de contaminants en milieux poreux.

Au chapitre 2, nous présentons une démonstration constructive des inégalités de Poincaré–Friedrichs discrètes pour une classe d'approximations non conformes de l'espace de Sobolev H¹, indiquons les valeurs optimales des constantes dans ces inégalités et montrons l'inégalité de Friedrichs discrète pour des domaines bornés dans une direction uniquement. Ces résultats sont importants dans l'analyse de méthodes numériques non conformes, comme les méthodes d'éléments finis non conformes ou de Galerkin discontinu.

Au chapitre 3, nous montrons que la méthode des éléments finis mixtes de Raviart–Thomas de plus bas degré pour des problèmes elliptiques en dimension deux ou trois d'espace est équivalente à un schéma de volumes finis à plusieurs points. Après avoir étudié ce schéma, nous l'appliquons à la discrétisation d'équations de convection–réaction–diffusion paraboliques non linéaires. Cette approche permet de réduire le temps de calcul de la méthode des éléments finis mixtes, tout en conservant sa très grande précision, ce qui est confirmé par les tests numériques.

Enfin, au chapitre 4, nous proposons une version de la méthode des éléments finis mixtes de Raviart–Thomas de plus bas degré pour la résolution de problèmes elliptiques sur un système de polygones bidimensionnels placés dans l'espace tridimensionnel, démontrons qu'elle est bien posée et étudions sa relation avec la méthode des éléments finis non conformes. Ces résultats sont finalement appliqués à la simulation de l'écoulement de l'eau souterraine dans un système de polygones représentant un réseau de fractures perturbant un massif rocheux.

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