ANR MSDOS (Multidimensional Systems: Digression On Stability)

Programme Blanc - SIMI 3 - 2014-2017

Axe Méthodes Algébriques (tâches 3, 4, 5)

 

  1. Participants à cet axe de recherche :
  2. Yacine Bouzidi, Inria Lille - Nord Europe, équipe GAIA

    Thomas Cluzeau, ENSIL, XLIM, Université de Limoges, coordinateur : XLIM

    Hugues Mounier, Université Paris Sud 11, Laboratoire des Signaux et Systèmes (L2S)

    Alban Quadrat, Inria Lille - Nord Europe, équipe GAIA, coordinateur : Inria Lille - Nord Europe

     

  3. Collaboration avec d'autres membres de l'ANR :
  4. Olivier Bachelier, LIAS, Université de Poitiers

    Ronan David, LIAS, Université de Poitiers

    Nima Yeganefar, LIAS, Université de Poitiers, porteur de l'ANR MSDOS et coordinateur : LIAS

     

  5. Collaborateurs extérieurs :
  6. Luca Greco, Laboratoire des Signaux et Systèmes (L2S)

    Maria Bekcheva, Université Paris Sud 11, Laboratoire des Signaux et Systèmes (L2S)

    Adrien Poteaux, Université de Lille, CRISTAL, équipe GAIA

    Guillaume Moroz, Inria Nancy - Grand Est, équipe Gamble

    Fabrice Rouillier, Inria Paris, équipe Ouragan

    Rosane Ushirobira, Inria Lille - Nord Europe, équipe GAIA

     

  7. Objectifs :
  8. Analyse de stabilité structurelle et de la stabilisation interne des systèmes multidimensionnels: développement de nouveaux résultats théoriques et de nouveaux algorithmes sûrs et efficaces (tâche 3), implantation de ces algorithmes dans une librairie Maple dédiée (tâche 5).

    Etude des équivalences entre différents modèles de systèmes multidimensionnels (par exemple, modèle de Roesser, modèle de Fornasini-Marchesini, forme de Spencer réduite, ...) à l'aide de techniques d'analyse algébrique effective (anneaux d'opérateurs fonctionnels, théorie des modules, algèbre homologique, algèbre effective) et du package OreMorphisms. Applications de ces résultats à l'étude de la stabilité et de la stabilisation des systèmes multidimensionnels (tâche 3) et implémentation des résultats obtenus (tâche 5).

    Etude de systèmes d'équations aux dérivées partielles et de systèmes différentiels à retards à l'aide de méthodes d'analyse algébrique. Applications de ces résultats pour l'analyse de la stabilité, la stabilisation, platitude et le suivi de trajectoire (tâche 4).

     

  9. Résultats obtenus :
  10. Obtention de la première condition nécessaire et suffisante de stabilité structurelle pour une fonction de transfert d'un système n-dimensionnel avec n ≥ 2. Implémentation de l'algorithme obtenu en Maple. Voir [BQR2015] et le package IsStable ci-dessous.

    Développement d'un algorithme très efficace pour l'analyse de la stabilité structurelle des systèmes 2-dimensionnels. Implémentation dédiée en Maple et interface avec le solveur RS, développé par Fabrice Rouillier, permettant d'étudier la stabilité de systèmes 2D de grand degré en quelques secondes CPU. Voir [BR2016] et le package IsStable2D ci-dessous.

    Calcul des régions de stabilité pour des systèmes 2D avec paramètres. Voir [BR2016] et l'implémentation dédiée WhereIsStable2D ci-dessous.

    Développement d'un algorithme efficace pour le calcul des paires critiques de quasipolynômes et implémentation en Maple et interface avec le solveur RS, développé par Fabrice Rouillier, permettant de considérer des quasipolynômes de grand degré en quelques secondes CPU. Voir [BPQ2016, BPQ2018] et l'implémentation dans le package IsAsymptoticStable ci-dessous.

    Test de stabilisation et calcul de contrôleurs stabilisants pour les systèmes 2-dimensionnels, implantation de ces résultats. Voir [BR2017] et l'implémentation dans le package NDstability ci-dessous.

    Résolution d'une conjecture de Zhiping Lin (voir Z. Lin, Output feedback stabilizability and stabilization of linear nD systems, in Multidimensional Signals, Circuits and Systems, K. Galkowski and J. Wood eds., Taylor & Francis, pp. 59- 76, 2001), centrale pour l'étude de la stabilisation de systèmes multidimensionnels. Collaboration de Yacine Bouzidi, Thomas Cluzeau, Guillaume Moroz et Alban Quadrat.

    Développement d'un algorithme général pour le calcul de contrôleurs stabilisants de systèmes multidimensionnels stabilisables basé sur le Polydisc Nullstellensatz et des méthodes d'algèbre homologique effectives. Implantation utilisation du package OreModules. Voir [BCQ18].

    Etude fine de l'équivalence entre les modèles de Roesser et de Fornasini-Marchesini grâce à l'analyse algébrique effective et au package OreMorphisms. Voir [C2015]. Implémentation en cours.

    Etude de la stabilité et de la stabilisation structurelle de systèmes 2D discrets à travers des transformations et des équivalences au sens de l'analyse algébrique. Voir [BCDY2016a].

    Nouvelles méthodes de stabilisation structurelle de modèles de Fornasini-Marchesini 2D discrets en utilisant des transformations et des équivalences. Voir [BCDY2016b].

    Etude du contrôle d'équations aux dérivées partielles telles qu'une poutre flexible contrôlée en couple et d'un système de turbine. Voir [BGMQ2015] et [GM2016].

    Développement d'un cadre algébrique pour l'étude des systèmes différentiels à retard variant dans le temps à l'aide de technique d'analyse algébrique. Voir [QU2016].

     

  11. Travaux en cours :
  12. Tests de stabilisation pour les systèmes n-dimensionnels pour n ≥ 3 et implantation de ces résultats.

    Etude d'une version effective du Polydisc Nullstellensatz et de son implantation dans un système de calcul formel.

    Développement d'une preuve effective d'un théorème de Pierre Deligne permettant le calcul des factorisations doublement copremières et la paramétrisation de Youla-Kucera de l'ensemble dess contrôleurs stabilisants pour des systèmes admettant des factorisations doublement copremières. Implémentation de ces résultats.

    Approches algébriques pour la stabilisation par retour d'état observé.

     

  13. Problèmes rencontrés:
  14. L'étude de la stabilisation des systèmes n-dimensionnels requière le développement d'une preuve effective du Polydisc Nullstellensatz. Pour l'instant, nous n'avons pu obtenir qu'une preuve effective pour le cas n = 2.

     

  15. Publications :
  16. [BCDY2016a] O. Bachelier, T. Cluzeau, R. David, N. Yeganefar, Structural stability and equivalence of linear 2D discrete systems, Proceedings of the the IFAC Joint Symposium SSSC 2016 & TDS 2016, Istanbul (Turkey), 22-24/06/2016.

    [BCDY2016b] O. Bachelier, T. Cluzeau, R. David, N. Yeganefar, Structural stabilization of linear 2D discrete systems using equivalence transformations, soumis pour publication à Multidimensional Systems and Signal Processing.

    [BGMQ2015] M. Bekcheva, L. Greco, H. Mounier, A. Quadrat (2015). "Euler-Bernoulli beam flatness based control with constraints", Proceedings of the IEEE 9th International Workshop on Multidimensional (nD) Systems (IEEE nDS 2015), Vila Real (Portugal) (07-09/09/15).

    [BQR2015] Y. Bouzidi, A. Quadrat, F. Rouillier (2015). "Computer algebra methods for testing the structural stability of multidimensional systems", Proceedings of the IEEE 9th International Workshop on Multidimensional (nD) Systems (IEEE nDS 2015), Vila Real (Portugal) (07-09/09/15).

    [BPQ2016] Y. Bouzidi, A. Poteaux, A. Quadrat (2016). "Computer algebra methods for the stability analysis of differential systems with commensurate time-delays", Proceedings of the IFAC Joint Symposium SSSC 2016 & TDS 2016 , Istanbul (Turkey), 22-24/06/2016.

    [BPQ2019] Y. Bouzidi, A. Poteaux, A. Quadrat (2019). "A symbolic computation approach to the asymptotic stability analysis of differential systems with commensurate delays", Inria Report 9044, chapitre dans Delays and Interconnections: Methodology, Algorithms and Applications, Advances in Delays and Dynamics (ADD), Springer, à paraître.

    [BR2017] Y. Bouzidi, T., Cluzeau, G., Moroz, A., Quadrat, (2017). "Computing effectively stabilizing controllers for a class of nD systems", Proceedings of IFAC 2017 Workshop Congress, Toulouse (France), 09-14/07/2017.

    [BCQ2018] Y. Bouzidi, T. Cluzeau, A. Quadrat (2018). "On the computation of stabilizing controllers of multidimensional systems", en cours de soumission.

    [BQR2018] Y. Bouzidi, A. Quadrat, F. Rouillier (2018). "Certified non-conservative tests for the structural stability of multidimensional systems", Inria Report 9085, Multidimensional Systems and Signal Processing, on line.

    [BR2016] Y. Bouzidi, F. Rouillier (2016). "Certified algorithms for proving the sructural stability of two-dimensional systems possibily with parameters", Proceedings of the 22nd International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS) , University of Minnesota, Minneapolis (USA), 12-15/07/2016.

    [BR2019] Y. Bouzidi, F. Rouillier (2019). "Symbolic methods for solving algebraic systems and application in dynamical system theory", in Algebraic and Symbolic Computation Methods in Dynamical Systems, Advances in Delays and Dynamics (ADD), Springer, à paraître.

    [C2015] T. Cluzeau, Constructive algebraic analysis approach to the equivalence of multidimensional linear systems, Proceedings of the IEEE 9th International Workshop on Multidimensional (nD) Systems (IEEE nDS 2015), Vila Real (Portugal) (07-09/09/15).

    [MG2016] H. Mounier, L. Greco (2016). "Modelling and flatness based control of distributed parameter wind turbine systems", Proceedings of the 22nd International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS) , University of Minnesota, Minneapolis (USA), 12-15/07/2016.

    [QU2016] A. Quadrat, R. Ushirobira (2016). "Algebraic analysis for the Ore extension rings of differential time-varying delay operators", Proceedings of the 22nd International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS) , University of Minnesota, Minneapolis (USA), 12-15/07/2016.

    [QU2018] A. Quadrat, R. Ushirobira (2018). "On the Ore extension ring of differential time-varying delay operators", soumis pour chapitre dans le livre Incorporating constraints on the Analysis of Delay and Distributed Parameter Systems, Advances in Delays and Dynamics (ADD), Springer, à paraître.

    D'autres publications sont en cours de publication ou de soumission dans des conférences internationales ou des journaux à comité de lecture.

     

  17. Logiciels :
  18. IsStable : Un package symbolique-numérique permettant de tester la stabilité structurelle des systèmes n-dimensionnels (n ≥ 1). Il est basé sur les résulats obtenus dans [BQR2015]. Ce package, écrit en Maple, a été développé par Yacine Bouzidi, Alban Quadrat et Fabrice Rouillier.

    IsStable2D : Un package symbolique-numérique dédiée à l'étude de la stabilité structurelle des systèmes 2-dimensionnels. Pour les systèmes 2-dimensionnels, un algorithme plus efficace que celui de IsStable, développé dans [BR2016], est implanté en Maple par Yacine Bouzidi et Fabrice Rouillier.

    WhereIsStable2D : Un package symbolique permettant d'étudier la stabilité structurelle d'un système 2-dimensionnel en fonction des paramètres du système (calcul des régions de stabilité dans l'espace des paramètres). Ce package, écrit en Maple, a été développé par Yacine Bouzidi et Fabrice Rouillier. Il est basé sur les résultats obtenus dans [BR2016].

    IsAsymptoticStable : Un package symbolique-numérique permettant l'étude de la stabilité asymptotique des systèmes linéaires différentiels à retards commensurables à l'aide du calcul de paires critiques et de développement en séries de Puiseux de quasipolynômes. Ce package, écrit en Maple, a été développé par Yacine Bouzidi, Adrien Poteaux et Alban Quadrat, et est basé sur les résultats obtenus dans [BPQ2016].

    Stabilization2D : Un package symbolique-numérique permettant le calcul de contrôleurs stabilisants de systèmes 2-dimensionnels. Ce package Maple est développé par Yacine Bouzidi, Thomas Cluzeau, Guillaume Moroz et Alban Quadrat. Il est basé sur des résultats à paraître permettant la vérification de la stabilisation interne et le calcul de contrôleurs stabilisants pour les systèmes 2-dimensionnels.

    StabilityEquivalence : Un package symbolique permettant tester la stabilité structurelle d'un modèle de Roesser et d'un modèle de Fornasini-Marchesini généralisé (FM) en utilisant IsStable et de convertir un modèle de Fornasini-Marchesini généralisé en un modèle de Roesser équivalent et inversement.

     

  19. Références :
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    F. Chyzak, A. Quadrat, D. Robertz, OreModules: A symbolic package for the study of multidimensional linear systems, in J. Chiasson and J.J. Loiseau, Eds., Applications of time delay systems, Lecture notes in Control and Information Sciences. Springer, vol. 352, 2007, pp. 233-264, 2007.

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