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Retour chez A. de La Fortelle
Novembre 1999
Résumé : Soit X une chaîne de Markov homogène sur un espace E dénombrable. Alors un théorème de Sanov faible s'applique à X, i.e. la mesure empirique d'ordre 2 vérifie un principe faible de grandes déviations (PGD). Cette proposition est une amélioration des résultats actuels. En effet, en général, les PDG soit supposent la finitude de E, soit imposent sur X une forte condition d'uniformité, qui exclut d'importantes classes de chaînes et notamment les réseaux de files d'attente à sauts bornés. Par ailleurs ce PGD est valide pour toute chaîne de Markov à espace d'états discret, sous la seule hypothèse d'irréductibilité.
Ce résultat est le fruit d'une nouvelle approche, qui permet d'étendre des PGD en passant d'espaces d'états finis à un espace d'états dénombrable. Il faut noter qu'ici une suite de PGD forts (ils le sont nécessairement sur un espace d'états fini par exemple) implique seulement un PGD faible, contrairement à ce qui se passe habituellement pour les limites projectives.
On obtient aussi un certain nombre de corollaires, parmi lesquels un analogue du lemme intégral de Varadhan ou encore, sous des conditions assez restrictives, un principe de contraction qui entraine immédiatement le théorème de Sanov faible pour la mesure empirique d'ordre 1. Soulignons enfin que la méthode s'étend aisément à des contextes voisins : chaines réductibles, temps continu, espaces d'états plus généraux.
Mots-clefs : Grandes déviations, chaîne de Markov, mesure empirique, Sanov, entropie, information, cycle.